Question

【題目】已知函數．

（1）討論的單調性；

（2）若，是的兩個零點，求證：．

Answer 1

【答案】（1）f（x）的單調遞增區間為，單調遞減區間為．（2）證明見解析

【解析】

（1）先求函數的導數 ，分和兩種情況討論函數的單調性；

（2）根據（1）的結果可知，即，利用分析法，將需要證明想不等式轉化為證明，只需證明，利用函數的單調性和零點存在性定理可證明，根據零點存在性定理和單調性證明.

（1）f（x）的定義域為（0，＋∞），且，

①當a≤0時，f'（x）≤0，f（x）的單調遞減區間為（0，＋∞）；②當a＞0時，由f'（x）＞0得，故f（x）的單調遞增區間為，

單調遞減區間為．

（2）∵f（x）有兩個零點，∴由（1）知a＞0且，∴a＞2e，要證原不等式成立，只需證明，只需證明，

只需證明．

一方面∵a＞2e，∴，

∴，∴，

且f（x）在單調遞增，故；

另一方面，令，（x＞0），

則，當時，g'（x）＜0；當時，g'（x）＞0；

故，故g（x）≥0即時x∈（0，＋∞）恒成立，

令，

則，于是，

而，

故，且f（x）在單調遞減，故；

綜合上述，，即原不等式成立．