Question

（本題滿分14分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA＝PD=,底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O為AD中點.

(Ⅰ)求證:PO⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求異面直線PB與CD所成角的余弦值；

(Ⅲ)求點A到平面PCD的距離.

Answer 1

（Ⅰ）證明：在△PAD卡中PA＝PD，O為AD中點，所以PO⊥AD.

又側面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

（Ⅱ）連結BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，

有OD∥BC且OD＝BC，所以四邊形OBCD是平行四邊形，

所以OB∥DC.

由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO為銳角，

所以∠PBO是異面直線PB與CD所成的角.

因為AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝，

在Rt△POA中，因為AP＝，AO＝1，所以OP＝1，

在Rt△PBO中，PB＝,

cos∠PBO=,

所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為.

(Ⅲ)由（Ⅱ）得CD＝OB＝，

在Rt△POC中，PC＝，

所以PC＝CD＝DP，S_△PCD=·2=.

又S△=

設點A到平面PCD的距離h，由

得S_△ACD·OP＝S_△PCD·h，即×1×1＝××h，

解得h＝.