Question

已知正四棱柱ABCD-A′B′C′D′的外接球直徑為

6

，底面邊長AB=1，則側棱BB′與平面AB′C所成角的正切值為

 

．

Answer 1

分析：以D為原點，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD′為z軸，建立空間直角坐標系D-xyz，利用向量法能求出側棱BB′與平面AB′C所成角的正弦值，再由三角函數的性質能求出結果．

解答：解：以D為原點，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD′為z軸，
建立空間直角坐標系D-xyz，
∵正四棱柱ABCD-A′B′C′D′的外接球直徑為

6

，底面邊長AB=1，
∴DD′=

6-(1+1)

=2，
∴A（1，0，0），C（0，1，0），B′（1，1，2），B（1，1，0），
∴

B′B

=（0，0，-2），

AB′

=（0，1，2），

AC

=（-1，1，0），
設平面ACB′的法向量

n

=(x，y，z)，
∴

n

•

AB′

=0，

n

•

AC

=0，
∴

y+2z=0 -x+y=0

，∴

n

=(2，2，-1)，
設直線B′B與平面AB′C所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

B′B

，

n

＞|=|

2

2× 9

|=

1

3

，
∴cosθ=

1- 1 9

=

2 2

3

，
∴tanθ=

2

4

．
故答案為：

2

4

．

點評：本題考查直線與平面所成角的正切值的求法，是中檔題，解題時要注意向量法的合理運用．