Question

（2012•閘北區二模）對于任意的平面向量

a

=(x1，y1)，

b

=(x2，y2)，定義新運算⊕：

a

⊕

b

=(x1+x2，y1y2)．若

a

，

b

，

c

為平面向量，k∈R，則下列運算性質一定成立的所有序號是

①④

．
①

a

⊕

b

=

b

⊕

a

；    ②(k

a

)⊕

b

=

a

⊕(k

b

)；    ③k(

a

⊕

b

)=(k

a

)⊕(k

b

)
④

a

⊕(

b

⊕

c

)=(

a

⊕

b

)⊕

c

；     ⑤

a

⊕(

b

+

c

)=

a

⊕

b

+

a

⊕

c

．

Answer 1

分析：根據題意，設向量

a

=(x1，y1)，

b

=(x2，y2)，

c

=（m，n），進而分析所給的命題：對于①，計算

a

⊕

b

與

b

⊕

a

，分析可得①正確，對于②，分別計算（k

a

）⊕

b

與

a

⊕（k

b

），分析即可得②錯誤；對于③，先計算

a

⊕

b

，由向量的坐標運算可得k（

a

⊕

b

），同理可得（k

a

）⊕（k

b

），分析可得③錯誤；對于④，先計算

b

⊕

c

，進而可得

a

⊕（

b

⊕

c

），同理計算可得（

a

⊕

b

）⊕

c

=（m+x₁+x₂，ny₁y₂），分析可得④正確；對于⑤，由向量的坐標運算可得

b

+

c

，進而可得

a

⊕（

b

+

c

），結合題意，計算可得

a

⊕

b

、

b

⊕

c

，由向量的坐標運算可得

a

⊕

b

+

b

⊕

c

，分析可得⑤正確；綜合可得答案．

解答：解：根據題意，設向量

a

=(x1，y1)，

b

=(x2，y2)，

c

=（m，n），
分析命題：
對于①，

a

⊕

b

=（x₁+x₂，y₁y₂），

b

⊕

a

=（x₂+x₁，y₂y₁），則

a

⊕

b

=

b

⊕

a

，則①正確；
對于②，（k

a

）⊕

b

=（kx₁+x₂，ky₁y₂），而

a

⊕（k

b

）=（x₁+kx₂，ky₁y₂），有（k

a

）⊕

b

≠

a

⊕（k

b

），則②錯誤；
對于③，

a

⊕

b

=（x₁+x₂，y₁y₂），k（

a

⊕

b

）=k（x₁+x₂，y₁y₂）=（kx₁+kx₂，ky₁y₂），而（k

a

）⊕（k

b

）=（kx₁+kx₂，k²y₁y₂），有k（

a

⊕

b

）≠（k

a

）⊕（k

b

），③錯誤；
對于④，

b

⊕

c

=（m+x₂，ny₂），

a

⊕（

b

⊕

c

）=（m+x₁+x₂，ny₁y₂），而

a

⊕

b

=（x₁+x₂，y₁y₂），（

a

⊕

b

）⊕

c

=（m+x₁+x₂，ny₁y₂），有

a

⊕（

b

⊕

c

）=（

a

⊕

b

）⊕

c

，④正確；
對于⑤，

b

+

c

=（m+x₂，n+y₂），

a

⊕（

b

+

c

）=（m+x₁+x₂，y₁n+y₁y₂），而

a

⊕

b

=（x₁+x₂，y₁y₂），

b

⊕

c

=（m+x₂，ny₂），

a

⊕

b

+

b

⊕

c

=（2m+x₁+x₂，y₁y₂+ny₂），⑤正確；
即①④正確；
故答案為①④．

點評：本題是新定義的題型，考查向量數量積的坐標運算，關鍵是根據題意，套用題干中的新運算“⊕”．