Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，n∈N⁺，a_n＞0，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，且滿足an+1=

2

Sn+1Sn-2

．
（Ⅰ）求{S_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè){b_k}是{S_n}中的按從小到大順序組成的整數(shù)數(shù)列．
（1）求b₃；
（2）存在N（N∈N⁺），當(dāng)n≤N時(shí)，使得在{S_n}中，數(shù)列{b_k}有且只有20項(xiàng)，求N的范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)a_n+1=S_n+1-S_n，代入已知等式并化簡整理可得（S_n+1-1）²-（S_n-1）²=2，因此數(shù)列{（S_n-1）²}構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，其首項(xiàng)為（S₁-1）²=1，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式算出（S_n-1）²的表達(dá)式，從而求出{S_n}的通項(xiàng)公式；
（II）（1）根據(jù)（I）的結(jié)論得S_n=1+

2n-1

，找出使

2n-1

為正整數(shù)的n值，從而得到當(dāng)n=1、5、13時(shí)S₁=2、S₅=4、S₁₃=6為{S_n}的前3個(gè)整數(shù)項(xiàng)，由此即可得到b₃=S₁₃=6；
（2）根據(jù)整數(shù)的整除性理論，可得若S_n=1+

2n-1

∈N^*，必定有

2n-1

=2k-1∈N^*．由此算出n=2k²-2k+1，其中k是正整數(shù)，進(jìn)而解出當(dāng)k=20時(shí)，n=761，當(dāng)k=21時(shí)，n=841．由此即可推算出：正整數(shù)N滿足761≤N＜841，當(dāng)n≤N時(shí)，在{S_n}中數(shù)列{b_k}有且只有20項(xiàng)，可得N的范圍．

解答：解：（I）∵a_n+1=S_n+1-S_n
∴

2

Sn+1Sn-2

=S_n+1-S_n，化簡得（S_n+1）²-（S_n）²-2（S_n+1-S_n）=2
整理，得（S_n+1-1）²-（S_n-1）²=2
∴數(shù)列{（S_n-1）²}構(gòu)成首項(xiàng)為（S₁-1）²=1，公差d=2的等差數(shù)列
因此，（S_n-1）²=2n-1，可得S_n=1+

2n-1

（II）（1）由（I）的結(jié)論，S_n=1+

2n-1

∴欲使S_n為整數(shù)，則必須

2n-1

∈N^*，可得n=

1

2

（k²+1）（k∈N^*）
因此，分別取k=1、3、5，得n=1、5、13，可得S₁=2，S₅=4，S₁₃=6
∴結(jié)合數(shù)列{b_k}的定義，可得b₁=S₁=2，b₂=S₅=4，b₃=S₁₃=6；
（2）∵2n-1是一個(gè)奇數(shù)，
∴若S_n=1+

2n-1

為整數(shù)，必定有

2n-1

=2k-1，其中k是正整數(shù)
由此可得2n-1=（2k-1）²，化簡得n=2k²-2k+1
∵當(dāng)k=20時(shí)，n=2×20²-2×20+1=761；當(dāng)k=21時(shí)，n=2×21²-2×21+1=841
∴存在N滿足761≤N＜841，當(dāng)n≤N時(shí)，在{S_n}中數(shù)列{b_k}有且只有20項(xiàng)．
即所求N的取值范圍為{N|761≤N＜841且N∈N⁺}．

點(diǎn)評(píng)：本題給出數(shù)列關(guān)于a_n+1、S_n+1和S_n的式子，求數(shù)列{S_n}的通項(xiàng)公式并依此討論{S_n}的整數(shù)項(xiàng)的問題．著重考查了等差數(shù)列、等比的通項(xiàng)公式，數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系，考查了整數(shù)的整除性的理解和二次不等式的解法等知識(shí)，屬于中檔題．