【題目】已知直線
及圓
．
（1）求直線
所過定點；
（2）求直線被圓
截得的最短弦長及此時直線的方程．
【答案】（1）直線l恒過點
（2）最短弦長為
，直線l的方程為
【解析】
（1）根據題意，將直線
的方程變形可得
，將該方程看成是關于
的一次方程，令的系數和常數部分為0，可得
的值，即可得答案；
（2）設過定點為
，根據題意，當
時，直線被圓
所截得的弦長最短，由直線垂直的斜率關系可得直線的斜率，結合定點的坐標求出直線的方程，由弦長公式求出最短弦的長度即可得答案；
（1）證明：直線l化為，
因為直線恒過定點，
，
解得
，
則直線所過定點為；
（2）設直線與圓的交點為A、B，由（1）知l過定點
在圓內，且與過此點的圓的半徑垂直時，被圓所戴的弦長
最短，
此時圓心到直線的距離為
，
所以
，即最短弦長為，
又
，
則直線的斜率
，
則直線的方程為
，即．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，直角梯形ABDC中，
，
，
，
，
.
（1）若S是直角梯形ABDC所在平面外一點，畫出平面SBD和平面SAC的交線，并說明理由；
（2）直角梯形ABDC繞直線AC所在直線旋轉一周所得幾何體名稱是什么?并求出其體積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設復數
與復平面上點
對應.
（1）若
是關于
的一元二次方程
的一個虛根，且
，求實數
的值；
（2）設復數滿足條件
（其中
、常數
），當
為奇數時，動點的軌跡為
，當為偶數時，動點的軌跡為
，且兩條曲線都經過點
，求軌跡與的方程；
（3）在（2）的條件下，軌跡上存在點
，使點與點
的最小距離不小于
，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線l1：x+my+1=0和l2：（m-3）x-2y+（13-7m）=0．
（1）若l1⊥l2，求實數m的值；
（2）若l1∥l2，求l1與l2之間的距離d．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
，其中x＞0，k為常數，e為自然對數的底數．
（1）當k≤0時，求
的單調區間；
（2）若函數在區間(1，3)上存在兩個極值點，求實數k的取值范圍；
（3）證明：對任意給定的實數k，存在
(
)，使得在區間(，
)上單調遞增．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若直線
與x軸，y軸的交點分別為A，B，圓C以線段AB為直徑．
（1）求圓C的標準方程；
（2）若直線l過點
且圓心C到l的距離為1，求直線l的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】命題
：方程
表示焦點在
軸上的雙曲線：命題
：若存在
，使得
成立.
（1）如果命題是真命題，求實數
的取值范圍；
（2）如果“
”為假命題，“
”為真命題，求實數的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
，
是函數
的圖象上任意兩點，若
為
，
的中點，且的橫坐標為
．
（1）求
；
（2）若
，
，求
；
（3）已知數列
的通項公式
（
，），數列的前
項和為
，若不等式
對任意恒成立，求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設數列
的前n項和為
，對任意的正整數n，都有
成立，記
.
(1)求數列與數列
的通項公式；
(2)求證：①
對
恒成立.②
對
恒成立，其中
為數列的前n項和.
(3)記
，
為
的前n項和，求證：對任意正整數n，都有
.
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