Question

已知函數f（x）的定義域為R，對任意的x₁，x₂都滿足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），
當x＜0時，f（x）＜0．
（1）判斷f（x）的單調性；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）是否存在這樣的實數m，當θ∈[0，

π

2

]時，使不等式f[cos²θ-（2+m）sinθ]+f（3+2m）＞0對所有θ恒成立，若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題考查的是函數的單調性證明問題．在解答時，首先要結合定義域和所給區間任設兩個變量并保證大小關系，然后通過f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）＜f（x₂）即可獲得相應變量對應函數值的大小關系，結合函數單調性的定義即可獲得問題的解答．
（2）賦值求出f（0）=0，再令x₁=-x，x₂=x，有f（-x+x）=f（-x）+f（x）構造出f（-x）與f（x）的方程研究其間的關系，得出奇偶性，解答本題時注意做題格式，先判斷后證明．
（3）此題考查的是函數與方程的綜合應用類問題．在解答時，先結合存在性問題的特點先假設存在m符合題意，然后將問題轉化為恒成立的問題結合二次函數的特點即可獲得問題的解答．

解答：解：（1）設x₁＜x₂則x₁-x₂＜0，
f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上為增函數
（2）令x₁=x₂=0有f（0）=0
∴f（0）=f（x-x）=f（x）+f（-x）∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）為奇函數
（3）假設存在實數m，由條件得f[cos²θ-（2+m）sinθ+3+2m]＞f（0）?cos²θ-（2+m）sinθ+3+2m＞0
令t=sinθt∈[0，1]有-t²-（2+m）t+4+2m＞0在[0，1]上恒成立
令g（t）=-t²-（2+m）t+4+2m則有

g(0)＞0 g(1)＞0

?m＞-1

點評：本題考查的是函數的單調性證明問題．抽象函數的奇偶性的判定，以及賦值法的應用，屬于中檔題，在解答的過程當中充分體現了函數單調性的定義、作差法以及賦值法等知識．值得同學們體會和反思．