如圖，已知拋物線C的頂點在原點，開口向右，過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦長為2，過C上一點A作兩條互相垂直的直線交拋物線于P,Q兩點. 
（1）若直線PQ過定點
，求點A的坐標；
（2）對于第（1）問的點A，三角形APQ能否為等腰直角三角形？若能，試確定三角形APD的個數；若不能，說明理由.
（1）
,（2）一個
解析試題分析：（1）確定拋物線標準方程只需一個獨立條件，本題條件為已知通徑長
所以拋物線的方程為
.直線過定點問題，實際是一個等式恒成立問題.解決問題的核心是建立變量的一個等式.可以考慮將直線
的斜率列為變量，為避開討論，可設的方程為
，與聯立消
得
，則
，
設
點坐標為
，則有
，代入化簡得：
因此
，點坐標為，（2）若三角形APQ為等腰直角三角形，則的中點與點A連線垂直于.先求出的中點坐標為
，再討論方程
解的個數，這就轉化為研究函數增減性，并利用零點存在定理判斷零點有且只有一個.
試題解析：(1)設拋物線的方程為
,依題意,
,
則所求拋物線的方程為. (2分)
設直線的方程為
,點
、
的坐標分別為
.
由
,消得
.由
,得
,,
.∵
,∴
.
設點坐標為,則有
.
,
,
∴
或
.
∴
或
, ∵恒成立. ∴.
又直線過定點
,即
,代入上式得
注意到上式對任意
都成立,
故有,從而點坐標為. (8分)
(2)假設存在以為底邊的等腰直角三角形
,由第（1）問可知,將
用代換得直線的方程為
.設,
由
狀元坊全程突破導練測系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的右焦點為
，短軸的端點分別為
,且
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）過點且斜率為
的直線
交橢圓于
兩點，弦
的垂直平分線與
軸相交于點
.設弦的中點為
，試求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設橢圓C1：
的右焦點為F，P為橢圓上的一個動點．
（1）求線段PF的中點M的軌跡C2的方程；
（2）過點F的直線l與橢圓C1相交于點A、D，與曲線C2順次相交于點B、C，當
時，求直線l的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
的左、右焦點分別為
,離心率
，連接橢圓的四個頂點所得四邊形的面積為
.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設
是直線
上的不同兩點，若
,求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知點
在雙曲線
上，且雙曲線的一條漸近線的方程是
．
(1)求雙曲線
的方程；
(2)若過點
且斜率為
的直線
與雙曲線有兩個不同交點，求實數的取值范圍；
(3)設(2)中直線與雙曲線交于
兩個不同點，若以線段
為直徑的圓經過坐標原點，求實數的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在平面直角坐標系
中，已知
，
，
是橢圓
上不同的三點，
，
，在第三象限，線段
的中點在直線
上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求點C的坐標；
（3）設動點
在橢圓上（異于點，，）且直線PB，PC分別交直線OA于
，
兩點，證明
為定值并求出該定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
，直線
與
相交于
、
兩點，與
軸、
軸分別相交于
、
兩點，
為坐標原點.
（1）若直線的方程為
，求
外接圓的方程；
（2）判斷是否存在直線，使得、是線段
的兩個三等分點，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設雙曲線C：
（a>0，b>0）的一個焦點坐標為（
，0），離心率
， A、B是雙曲線上的兩點，AB的中點M（1，2）.
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求直線AB方程；
（3）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線交于C、D兩點，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？
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與拋物線
交于兩點A、B，如果弦
的長度
.
的值；
（O為原點）。