Question

關于函數f（x）=4sin(2x+

π

3

)（x∈R），有下列命題：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整數倍；
②y=f（x）的表達式可改寫為y=4cos(2x-

π

6

)；
③y=f（x）的圖象關于點(

π

6

，0)對稱；
④y=f（x）的圖象關于直線x=-

π

6

對稱．
其中正確的命題的序號是

 

．（把你認為正確的命題序號都填上）

Answer 1

分析：首先根據函數求出最小正周期，然后根據誘導公式求出對稱中心，然后根據圖象分別求出最大值和最小值，最后綜合判斷選項．

解答：解：函數f（x）=4sin(2x+

π

3

)的最小正周期T=π，
由相鄰兩個零點的橫坐標間的距離是

T

2

=

π

2

知①錯．
利用誘導公式得f（x）=4cos[

π

2

-(2x+

π

3

)]
=4cos(

π

6

-2x)=4cos(2x-

π

6

)，知②正確．
由于曲線f（x）與x軸的每個交點都是它的對稱中心，
將x=

π

6

代入得f（x）=4sin

2π

3

≠0，
因此點（

π

6

，0）不是f（x）圖象的一個對稱中心，
故命題③錯誤．
曲線f（x）的對稱軸必經過圖象的最高點或最低點，且與y軸平行，而x=-

π

6

時y=0，點
（-

π

6

，0）不是最高點也不是最低點，
故直線x=-

π

6

不是圖象的對稱軸，因此命題④不正確．
故答案為：②

點評：本題考查三角函數的周期性及其求法，誘導公式的利用，以及正弦函數的對稱性問題，屬于基礎題．