Question

某車間有50名工人，要完成150件產品的生產任務，每件產品由3個A型零件和1個B型零件配套組成．每個工人每小時能加工5個A型零件或者3個B型零件，現在把這些工人分成兩組同時工作（分組后人數不再進行調整），每組加工同一中型號的零件．設加工A型零件的工人人數為x名（x∈N^*）
（1）設完成A型零件加工所需時間為f（x）小時，寫出f（x）的解析式；
（2）為了在最短時間內完成全部生產任務，x應取何值？

Answer 1

分析：（1）生產150件產品，需加工A型零件450個，則完成A型零件加工所需時間f（x）=

A型零件個數

每小時加工A 型零件數×人數

，代入數據整理即可；
（2）生產150件產品，需加工B型零件150個，同理可得完成B型零件加工所需時間g（x）；
完成全部生產任務所需時間h（x），是f（x）與 g（x）的較大者；故令f（x）≥g（x），得1≤x≤32

1

7

；
所以，當1≤x≤32時，f（x）＞g（x）；當33≤x≤49時，f（x）＜g（x）．
即h(x)=

90 x ，(x∈N*，且1≤x≤32) 50 50-x ，(x∈N*，且33≤x≤49)

；求得函數h（x）的最小值即可．

解答：解：（1）生產150件產品，需加工A型零件450個，則完成A型零件加工所需時間f(x)=

450

5x

=

90

x

（其中x∈N*，且1≤x≤49）；
（2）生產150件產品，需加工B型零件150個，則完成B型零件加工所需時間g(x)=

150

3(50-x)

=

50

50-x

（其中x∈N*，且1≤x≤49）；
設完成全部生產任務所需時間h（x）小時，則h（x）為f（x）與 g（x）的較大者，
令f（x）≥g（x），則

90

x

≥

50

50-x

，解得1≤x≤32

1

7

，
所以，當1≤x≤32時，f（x）＞g（x）；當33≤x≤49時，f（x）＜g（x）．
故h(x)=

90 x ，(x∈N*，且1≤x≤32) 50 50-x ，(x∈N*，且33≤x≤49)

；
當1≤x≤32時，h′(x)=-

90

x2

＜0，故h（x）在[1，32]上單調遞減，
則h（x）在[1，32]上的最小值為h(32)=

90

32

=

45

16

（小時）；
當33≤x≤49時，h′(x)=

50

(50-x)2

＞0，故h（x）在[33，49]上單調遞增，
則h（x）在[33，49]上的最小值為h(33)=

50

50-33

=

50

17

（小時）； 
∵h（33）＞h（32），
∴h（x）在[1，49]上的最小值為h（32），
∴x=32為所求．
所以，為了在最短時間內完成全部生產任務，x應取32．

點評：本題主要考查了函數的最值、不等式、導數及其應用等基礎知識，也考查了分段函數的應用，以及運算求解和應用意識，屬于中檔題．