Question

理科（本小題14分）已知函數，當時，函數取得極大值.
（Ⅰ）求實數的值；（Ⅱ）已知結論：若函數在區間內導數都存在，且，則存在，使得.試用這個結論證明：若，函數，則對任意，都有；（Ⅲ）已知正數滿足求證：當，時，對任意大于，且互不相等的實數,都有

Answer 1

（Ⅰ）.
（Ⅱ）
當時，，單調遞增，；
當時，，單調遞減，；（Ⅲ）用數學歸納法證明.

試題分析：（Ⅰ）. 由，得，此時.
當時，，函數在區間上單調遞增；
當時，，函數在區間上單調遞減.
函數在處取得極大值，故.   3分
（Ⅱ）令，  4分
則.函數在上可導，存在，使得.
又
當時，，單調遞增，；
當時，，單調遞減，；
故對任意，都有.   8分
（Ⅲ）用數學歸納法證明.
①當時，，且，，
，由（Ⅱ）得，即
，
當時，結論成立.   9分
②假設當時結論成立，即當時，
. 當時，設正數滿足令，
 
則，且.


13分
當時，結論也成立.
綜上由①②，對任意，，結論恒成立.   14分
點評：難題，利用導數研究函數的單調性、極值、最值，是導數的應用中的基本問題。本題（III）應用數學歸納法證明不等式，難度較大。涉及對數函數，要特別注意函數的定義域。