Question

（本題滿分15分）已知函數 且導數.
（Ⅰ）試用含有的式子表示，并求單調區間; （II）對于函數圖象上的不同兩點，如果在函數圖象上存在點（其中）使得點處的切線，則稱存在“伴侶切線”.特別地，當時，又稱存在“中值伴侶切線”.試問：在函數上是否存在兩點、使得它存在“中值伴侶切線”，若存在，求出、的坐標，若不存在，說明理由.

Answer 1

(Ⅰ)在上單調遞增，在上單調遞減  (Ⅱ)  不存在

（Ⅰ）的定義域為 ， 得：  …2分 代入： 得
當時， 由 ，得
又  即 在上單調遞增          ……4分
當時， 由 ，得
又  即 在上單調遞減
 在上單調遞增，在上單調遞減             ……6分
（II） 在函數上不存在兩點A、B使得它存在“中值伴侶切線”。
假設存在兩點，不妨設，則
，

=     ……8分
在函數圖象處的切線斜率
  
得：
化簡得：， …… 11分
令，則，上式化為：，即
若令，
由， 在上單調遞增，
這表明在內不存在，使得             ……14分
綜上所述，在函數上不存在兩點A、B使得它存在“中值伴侶切線”。 …15分