Question

【題目】在直角坐標系xOy中，動點P與定點的距離和它到定直線的距離之比是，設動點P的軌跡為E．

（1）求動點P的軌跡E的方程；

（2）設過F的直線交軌跡E的弦為AB，過原點的直線交軌跡E的弦為CD，若，求證：為定值．

Answer 1

【答案】（1）

（2）證明見解析

【解析】

（1）設點，根據動點P與定點的距離和它到定直線的距離之比是，列出等式，再化簡即可得出答案.

（2）設出直線AB與直線CD，聯立直線與橢圓，即可得出、的值，即可求出.

解：（1）設點，由題意得，將兩邊平方，并簡化得，

故軌跡的方程是．

（2）證明：①當直線AB的斜率不存在時，易求，，

則．

②當直線AB的斜率存在時，

設直線AB的斜率為k，依題意，

則直線AB的方程為，直線CD的方程為．

設，，，，

由得

．

則，，

由整理得，則．

．

∴．

綜合①②知：為定值．