Question

【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與上、下頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為直徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)過橢圓右焦點(diǎn)且不平行于軸的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，探究在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，試求出定值和點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定點(diǎn)為.

【解析】試題分析：（1）由橢圓幾何意義得，再根據(jù)圓心到切線距離等于半徑得，解得， （2）先根據(jù)向量數(shù)量積化簡(jiǎn)，再聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理代人化簡(jiǎn)得，最后根據(jù)k的任意性確定點(diǎn)的坐標(biāo)及定值

試題解析：（1）由題意知， ，解得，

則橢圓的方程為.

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線,

聯(lián)立，得，

∴.

假設(shè)軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，

∴

.

要使為定值，則的值與無關(guān)，∴，

解得，此時(shí)為定值，定點(diǎn)為.