Question

已知函數f（x）=4x-k（x²+2clnx）（c＞1，k∈R）有一個極值點是1．
（I）討論函數f（x）的單調性；
（II）當c＞1時，記f（x）的極大值為M（c），極小值為N（c），對于t∈R，問函數是否存在零點？若存在，請確定零點個數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中函數f（x）=4x-k（x²+2clnx）（c＞1，k∈R）有一個極值點是1．根據函數在某點取得極值的條件，可得1是導函數f′（x）=4-k（2x+）的一個根，由此求出函數的另一個極值點后，即可討論得出函數的單調性．
（II）由（I）的結論，我們可得f（x）在x=c時取極大值，在x=1時取極小值，即=f（c）=4c-k（c²+2clnc），N=f（1）=4-k，構造函數利用導數研究函數的單調性，利用函數的單調性可以比較 的大小，從而得出函數是否存在零點．
解答：解：（I）由已知中k≠0
∵f（x）=4x-k（x²+2clnx）（c＞1，k∈R）
∴f′（x）=4-k（2x+）=
∵函數f（x）=有一個極值點是1．
∴f′（1）=0
∴c=
令f′（x）=0，即-2kx²-2ck+4x=0，即2kx²-4x+2ck=0
∵此方程的一個根為1，
∴另一個根為c
∵c＞1，即0＜k＜1
∴函數f（x）在（1，c）上為增函數，在（0，1），（c，+∞）上為減函數
（II）由（I）知f（x）在x=c時取極大值，在x=1時取極小值
∴M=f（c）=4c-k（c²+2clnc），N=f（1）=4-k，其中
∴
∴
令g（c）=c²-1-2clnc，則g′（c）=2c-（2lnc+2）=2（c-1-lnc）
再令h（c）=c-1-lnc，則h′（c）=1-=
∵c＞1，∴h′（c）＞0
∴函數h（c）在（1，+∞）上為增函數
∴h（c）＞h（1）=0
∴g′（c）＞0，
∴函數g（c）在（1，+∞）上為增函數
∴g（c）＞g（1）=0
∴＞0
∴．
∴函數不存在零點．
點評：本題考查的知識點是函數在某點取得極值的條件，用導數研究函數的單調性，其中根據已知中函數的解析式，求出函數的導函數的解析式，并分析出函數的單調性及極值點等信息，是解答本題的關鍵．