Question

定義在D上的函數f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數，其中M稱為函數f（x）的上界．
舉例：f（x）=x，D=[-3，2]，則對任意x∈D，|f（x）|≤3，根據上述定義，f（x）=x在[-3，2]上為有界函數，上界可取3，5等等．
已知函數f（x）=1+a•2^x+4^x，g（x）=

1-2x

1+2x

．
（1）當a=1時，求函數f（x）在（0，+∞）上的值域，并判斷函數f（x）在（0，+∞）上是否為有界函數，請說明理由；
（2）求函數g（x）在[0，1]上的上界T的取值范圍；
（3）若函數f（x）在（-∞，0]上是以3為上界的函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設t=2^x，則t∈（1，+∞），求關于t的函數y=t²+t+1的值域，從而可判斷函數是否為有界函數；
（2）設t=2^x，則t∈[1，2]，求關于t的函數y=

1-t

1+t

的值域，根據|f（x）|≤T恒成立，求出T的范圍；
（3）設t=2^x，則t∈（0，1]，不等式|f（x）|≤3恒成立?|1+at+t²|≤3，分類討論求a的范圍．

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=1+2^x+4^x，
設t=2^x，x∈（0，+∞），∴t∈（1，+∞），
y=t²+t+1，值域為（3，+∞），
不存在正數M，使x∈（0，+∞）時，|f（x）|≤M成立，
即函數在x∈（0，+∞）上不是有界函數．
（2）設t=2^x，t∈[1，2]，
y=

1-t

1+t

=

2

1+t

-1在t∈[1，2]上是減函數，值域為[

1

3

，0]，
要使|f（x）|≤T恒成立，即：T≥

1

3

；
（3）由已知x∈（-∞，0]時，不等式|f（x）|≤3恒成立，即：|1+a×2^x+4^x|≤3，
設t=2^x，t∈（0，1]，不等式化為|1+at+t²|≤3，
當0＜

a

2

≤1即：-2≤a＜0時，1-

1

4

a²≥-3且2+a≤3，得：-2≤a＜0；
當-

a

2

≤0或-

a

2

≥1即：a≥0或a≤-2時，-3≤2+a≤3，得-5≤a≤-2或0≤a≤1，
綜上，-5≤a≤1．

點評：本題考查了與函數性質有關的新定義問題，考查了換元法求函數的值域，綜合性強，涉及知識面廣，難度較大．