Question

（2012•鹽城二模）設△ABC的內角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，且b2=

1

2

ac．
（1）求證：cosB≥

3

4

；
（2）若cos（A-C）+cosB=1，求角B的大小．

Answer 1

分析：（1）由條件可得 cosB=

a2+c 2 - 1 2 ac

2ac

，再利用基本不等式證得cosB≥

3

4

成立．
（2）由cos（A-C）+cosB=1，可得sinAsinC=

1

2

．再由b2=

1

2

ac可得 sin²B=

1

2

sinA•sinC=

1

4

，求得sinB=

1

2

，
可得B的值．

解答：解：（1）∵由條件可得 cosB=

a2+c 2 -b 2

2ac

=

a2+c 2 - 1 2 ac

2ac

≥

2ac - 1 2 ac

2ac

=

3

4

，故cosB≥

3

4

成立．
（2）∵cos（A-C）+cosB=cos（A-C）-cos（A+C）=2sinAsinC=1，
∴sinAsinC=

1

2

．
再由b2=

1

2

ac可得 sin²B=

1

2

sinA•sinC=

1

4

，
∴sinB=

1

2

，故B=

π

6

．

點評：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應用，基本不等式，根據三角函數的值求角，屬于中檔題．