Question

(本小題滿分12分) 已知橢圓E：=1（a＞b＞o）的離心率e=，且經(jīng)過點(diǎn)（,1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)。

（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
　（Ⅱ）圓O是以橢圓E的長軸為直徑的圓，M是直線x=－4在x軸上方的一點(diǎn)，過M作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為P、Q，當(dāng)∠PMQ=60°時，求直線PQ的方程.

Answer 1

（1）；（2）x-y+2="0."

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓E：橢圓E：=1（a＞b＞o）的離心率e=，可得a²=2b²，利用橢圓E：=1經(jīng)過點(diǎn)（,1）我們有 ，從而可求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）連接OM，OP，OQ，設(shè)M（-4，m），由圓的切線性質(zhì)及∠PMQ=60°，可知△OPM為直角三角形且∠OMP=30°，從而可求M（-4，4），進(jìn)而以O(shè)M為直徑的圓K的方程為（x+2）²+（y-2）²=8與圓O：x²+y²=8聯(lián)立，兩式相減可得直線PQ的方程．
解：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：   ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分
（2）連接QM，OP，OQ，PQ和MO交于點(diǎn)A，
有題意可得M（-4，m），∵∠PMQ=60⁰
∴∠OMP=30⁰，∵，
∵m>0,∴m=4,∴M(-4,4)            ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍7分
∴直線OM的斜率,有MP=MQ,OP=OQ可知OM⊥PQ,
,設(shè)直線PQ的方程為y=x+n     ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍9分
∵∠OMP=30⁰,∴∠POM=60⁰,∴∠OPA=30⁰,
,即O到直線PQ的距離為,  ﹍﹍﹍﹍10分
(負(fù)數(shù)舍去),∴PQ的方程為x-y+2=0. ﹍﹍﹍﹍12分
點(diǎn)評：解題的關(guān)鍵是確定M的坐標(biāo)，進(jìn)而確定以O(shè)M為直徑的圓K的方程．