Question

例4．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，對(duì)于nN，以a_n，a_n+1為系數(shù)的一元二次方程a_nx²-2 a_n+1x+1=0
都有根α、β且滿足（α-1）（β-1）=2．
（1）求證數(shù)列是等比數(shù)列．
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)韋達(dá)定理可知α+β=，αβ=，代入（α-1）（β-1）=2中整理得a_n-=-2（a_n+1-），進(jìn)而可判定數(shù)列是等比數(shù)列．
（2）由（1）可求得數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得a_n．
解答：解：（1）證明：依題意可知α+β=，αβ=
∴（α-1）（β-1）=αβ-（α+β）+1=-+1=2
整理得a_n-=-2（a_n+1-），a₁-=
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，-為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）知a_n-=×（-）^n-1，
∴a_n=×（-）^n-1+．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)和等比關(guān)系的確定．考查了學(xué)生對(duì)等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的理解和把握．