Question

已知函數f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)，其中a＞0，a≠1
（1）寫出f（x）的奇偶性與單調性（不要求證明）；
（2）若函數y=f（x）的定義域為（-1，1），求滿足不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0的實數m的取值集合；
（3）當x∈（-∞，2）時，f（x）-4的值恒為負，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于函數f（x）的定義域為R，且滿足f（-x）=-f（x），可得函數f（x）為奇函數．分當a＞1和當0＜a＜1兩種情況，分別根據

a

a2-1

的符號，及函數a^x-a^-x的單調性，可得函數f（x）的單調性．
（2）由題意可得 f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），故有

-1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1 1-m＜m2-1

，由此解得m的范圍．
（3）要使f（x）-4的值恒為負，只要f（2）-4≤0，即

a2+1

a

≤4，由此求得a的范圍．

解答：解：（1）由于函數f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)，其中a＞0，a≠1，它的定義域為R，
再根據f（-x）=

a

a2-1

•（a^-x-a^x）=-

a

a2-1

(ax-a-x)=-f（x），
故函數f（x）為奇函數．
當a＞1時，

a

a2-1

＞0，且函數a^x-a^-x為增函數，故此時函數f（x）為增函數．
當 0＜a＜1時，

a

a2-1

＞0，且函數a^x-a^-x為減函數，故此時函數f（x）為增函數．
（2）由于函數y=f（x）的定義域為（-1，1），故由不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0，
可得 f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
∴

-1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1 1-m＜m2-1

，解得 1＜m＜

2

．
（3）由于函數f（x）在（-∞，2）上單調遞增，要使f（x）-4的值恒為負，
只要f（2）-4≤0，即

a

a2-1

（a²-a^-2）-4≤0，即

a2+1

a

≤4．
解得 2-

3

≤a≤2+

3

，且a≠1，即a的范圍[2-

3

，1）、（1，2+

3

]．

點評：本題主要考查函數的單調性和奇偶性，利用函數的單調性解不等式，屬于基礎題．