Question

【題目】在某次會(huì)操活動(dòng)中，領(lǐng)操員讓編號(hào)為的名學(xué)生排成一個(gè)圓形陣，做循環(huán)報(bào)數(shù)，領(lǐng)操員一一記錄報(bào)數(shù)者的編號(hào)，并要求報(bào)l、2的學(xué)生出列，報(bào)3的學(xué)生留在隊(duì)列中，并將編號(hào)改為此次循環(huán)報(bào)數(shù)中三名學(xué)生的編號(hào)之和．一直循環(huán)報(bào)數(shù)下去．當(dāng)操場上剩余的學(xué)生人數(shù)不超過兩名時(shí)，報(bào)數(shù)活動(dòng)結(jié)束．領(lǐng)操員記錄最后留在操場的學(xué)生編號(hào)（例如，編號(hào)為的九名學(xué)生排成一個(gè)圓形陣，報(bào)數(shù)結(jié)束后，只有原始編號(hào)為9的學(xué)生留在操場，此時(shí)，他的編號(hào)為45，領(lǐng)操員記錄下來的數(shù)據(jù)分別為l，2，3，4，5，6，7，8，9，6，15，24，45）．已知共有2011名學(xué)生參加會(huì)操．

（1）最后留在場內(nèi)的學(xué)生最初的編號(hào)是幾號(hào)?

（2）求領(lǐng)操員記錄下的編號(hào)之和．

Answer 1

【答案】（1）1923；（2）

【解析】

記領(lǐng)操員記錄下的編號(hào)依次為，，…，，，…，，其和為．于是，

（1）在每次循環(huán)報(bào)數(shù)后，學(xué)生總?cè)藬?shù)減少2，但編號(hào)之和不變．

（2）若，經(jīng)過次循環(huán)報(bào)數(shù)后產(chǎn)生個(gè)新編號(hào)，這些編號(hào)之和為；再經(jīng)過次循環(huán)報(bào)數(shù)產(chǎn)生個(gè)新編號(hào)，這些編號(hào)之和也為；……經(jīng)過共

次循環(huán)報(bào)數(shù)，最后剩下1名學(xué)生，他的編號(hào)為，且他的原始編號(hào)為（即當(dāng)時(shí)，最后一名學(xué)生留在場上）．

由（1）知．

（3）若一圈學(xué)生人數(shù)為，且最后一名學(xué)生的編號(hào)為，則經(jīng)過次循環(huán)報(bào)數(shù)后，產(chǎn)生個(gè)新編號(hào)，此時(shí)，學(xué)生人數(shù)變?yōu)?/span>，第1名學(xué)生編號(hào)為．

對(duì)于一般的奇數(shù)，令，滿足．

則，．

首先，前名學(xué)生，，…，稱為第一組，其編號(hào)和為．

記學(xué)生初始編號(hào)和．

由（1）、（3）知，經(jīng)過次循環(huán)報(bào)數(shù)，學(xué)生人數(shù)變?yōu)?/span>，其中，第一名學(xué)生編號(hào)為稱為第二組；再經(jīng)過次循環(huán)報(bào)數(shù)后，學(xué)生人數(shù)變?yōu)?/span>，稱為第三組；重復(fù)循環(huán)報(bào)數(shù)直到學(xué)生人數(shù)為1，此時(shí)，是第組．

最后留在場上的學(xué)生原始編號(hào)為，且．

當(dāng)時(shí)，因，所以，，．

最后留在場上的學(xué)生原始編號(hào)為l923．故．