Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 滿足（1﹣q）Sn+qan=1，且q（q﹣1）≠0．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若S3 ， S9 ， S6成等差數(shù)列，求證：a2 ， a8 ， a5成等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，由（1﹣q）S1+qa1=1，a1=1．

當(dāng)n≥2時(shí)，由（1﹣q）Sn+qan=1，得（1﹣q）Sn﹣1+qan﹣1=1，兩式相減得：（1﹣q）an+qan﹣qan﹣1=0，即an=qan﹣1，

又q（q﹣1）≠0，所以{an}是以1為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，

故an=qn﹣1．

（2）解：由（1）可知Sn= ，又S3+S6=2S9，得 + = ，

化簡得a3+a6=2a9，兩邊同除以q得a2+a5=2a8．

故a2，a8，a5成等差數(shù)列

【解析】（1）求出a1=1．利用當(dāng)n≥2時(shí)，由Sn﹣Sn﹣1=an ， 利用q（q﹣1）≠0，說明{an}是以1為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式．（2）求出Sn= ，靈活S3+S6=2S9 ， 得到a2+a5=2a8 ． 說明a2 ， a8 ， a5成等差數(shù)列．