Question

【題目】（本小題滿分12分）

在如圖所示的多面體中，平面，，，，，，，是的中點.

（1）求證：；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1） 解法1

證明：∵平面，平面，

∴，

又，平面，

∴平面. …………2分

過作交于，則平面.

∵平面，

∴. …………4分

∵，∴四邊形平行四邊形，

∴，

∴，又，

∴四邊形為正方形，

∴， ……………6分

又平面，平面,

∴⊥平面. ………………………7分

∵平面,

∴. ………………………8分

（2）∵平面，平面

∴平面⊥平面

由（1）可知

∴⊥平面

∵平面

∴……………………9分

取的中點，連結，

∵四邊形是正方形，

∴

∵平面，平面

∴⊥平面

∴⊥Z|X|X|K]

∴是二面角的平面角， ………………………12分

由計算得

∴………………………13分

∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.………………………14分

解法2

∵平面，平面，平面，

∴，，

又,

∴兩兩垂直. ……………………2分

以點E為坐標原點，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

由已知得，（0，0，2），（2，0，0），

（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2），

（2，2，0）. …………………………4分

∴，，………6分

∴, ………7分

∴. …………………………8分

（2）由已知得是平面的法向量. ………………………9分

設平面的法向量為，

∵，

∴，即，令,得. ……………12分

設平面與平面所成銳二面角的大小為，

則…………………………13分

∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為. …………………………14分

【解析】

（1）證明EB，EF，EA兩兩垂直，以點E為坐標原點，EB，EF，EA分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系用坐標表示點與向量，證明

，可得BD⊥EG；
（2）由已知得是平面DEF的法向量，求出平面DEG的法向量

，利用向量的夾角公式，可求平面DEG與平面DEF所成銳二面角的余弦值．

（Ⅰ），，，

，．又，

BE，EF，AE兩兩垂直．

以點E為坐標原點，EB，EF，EA分別為x，y，z軸，

建立空間直角坐標系，

由已知得，，，，，，，

，．

，．

（Ⅱ）由已知得是平面DEF的法向量，

設平面的DEG法向量為，

，，

即令，得，

設平面DEG與平面DEF所成銳二面角的大小為θ，

則．

平面DEG與平面DEF所成銳二面角的余弦值為．