Question

已知f（x）是定義在實數(shù)集R上的不恒為0的函數(shù)，對任意實數(shù)x，y有f（x）f（y）=f（x+y），當x＞0時，有0＜f（x）＜1．
（Ⅰ）求f（0）的值，并證明f（x）恒正；
（Ⅱ）判斷f（x）在實數(shù)集R上單調(diào)性；
（Ⅲ）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，a₁=，a_n=f（n）（n為正整數(shù)）．令b_n=f（S_n），問數(shù)列{b_n}中是否存在最大項？若存在，求出最大項的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由f（x）f（y）=f（x+y），令x＞0，y=0，則f（x）f（0）=f（x），
∵當x＞0時，有0＜f（x）＜1，∴f（0）=1．…
當x＜0時，-x＞0，∴0＜f（-x）＜1，
由于f（x）f（-x）=f（x-x）=f（0）=1
所以，綜上可知，f（x）恒正；…
（Ⅱ）設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，∴0＜f（x₂-x₁）＜1
又由（1）可知f（x₁）＞0
所以f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）＜f（x₁）
故f（x）在實數(shù)集R上是減函數(shù)；…
（Ⅲ）由題意，a_n=f（n），
∴，
∴數(shù)列{a_n}為以首項，公比為的等比數(shù)列，
∴…
由此可知，S_n隨著n的增大而增大，再根據(jù)（2）可得f（S_n）隨著n的增大而減小，
所以數(shù)列{b_n}為遞減數(shù)列，
從而存在最大項，其為…
分析：（Ⅰ）由f（x）f（y）=f（x+y），利用賦值法，即可求f（0）的值，利用當x＞0時，有0＜f（x）＜1，證明f（x）恒正；
（Ⅱ）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合f（x）恒正，即可得到f（x）在實數(shù)集R上單調(diào)性；
（Ⅲ）確定數(shù)列{a_n}是通項與前n項和，可得可得f（S_n）隨著n的增大而減小，從而數(shù)列{b_n}為遞減數(shù)列，由此可得結(jié)論．
點評：本題考查抽象函數(shù)，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．