Question

如圖所示，把兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起，若

AD

=x

AB

+y

AC

，則x=

 

，y=

 

．

Answer 1

分析：設|

AB

|=1，求出題中有關線段的長度及有關角的大小，利用2個向量的數量積公式，待定系數法求出x、y的值．

解答：解∵

AD

=x

AB

+y

AC

，又

AD

=

AB

+

BD

，∴

AB

+

BD

=x

AB

+y

AC

，
∴

BD

=(x-1)

AB

+y

AC

．
又∵

AC

⊥

AB

，∴

BD

•

AB

=(x-1)

AB

2．
設|

AB

|=1，則由題意知：|

DE

|=|

BC

|=

2

．
又∵∠BED=60°，∴|

BD

|=

6

2

，顯然

BD

與

AB

的夾角為45°．
∴由

BD

•

AB

=(x-1)

AB

2 得

6

2

×1×cos45°=（x-1）×1，∴x=

3

2

+1． 
同理，在

BD

=(x-1)

AB

+y

AC

中，兩邊同時乘以

AC

，
由數量積公式可得：y=

3

2

，故答案為：1+

3

2

，

3

2

．

點評：本題考查2個向量的混合運算，兩個向量的數量積定義式、公式的應用，待定系數法求參數值，體現了數形結合的數學
思想，屬于中檔題．