Question

設向量

a

=（4cosα，sinα），

b

=（sinβ，4cosβ），

c

=（cosβ，4sinβ）
（1）若

a

與

b

-2

c

垂直，求tan（α+β）的值；
（2）求|

b

+

c

|的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據向量的數乘運算及向量坐標的減法運算求出

b

-2

c

，然后由向量垂直的條件得到關于α，β的三角函數關系式，整理后即可得到tan（α+β）的值；
（2）寫出

b

+

c

，然后直接運用求模公式求出模，運用三角函數的有關公式化簡后即可求模的最大值．

解答：解：（1）∵

a

=（4cosα，sinα），

b

=（sinβ，4cosβ），由

a

與

b

-2

c

垂直，∴

a

•(

b

-2

c

)=

a

•

b

-2

a

•

c

=0，
即4sin（α+β）-8cos（α+β）=0，∴tan（α+β）=2；
（2）∵

b

=（sinβ，4cosβ），

c

=（cosβ，4sinβ）
則

b

+

c

=(sinβ+cosβ，4cosβ-sinβ)，
∴|

b

+

c

|2=sin2β+2sinβcosβ+cos2β+16cos²β-32cosβsinβ+16sin²β
=17-30sinβcosβ=17-15sin2β，最大值為32，所以|

b

+

c

|的最大值為4

2

．

點評：本題考查了運用數量積判斷兩個向量的垂直關系，考查了向量的模，考查了同角三角函數間的基本關系式，考查了學生的運算能力，此題是基礎題．