Question

已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為4，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，且

1

a1

，

1

a2

，

1

a4

成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n及S_n；
（2）記A_n=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

，B_n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a22

+…+

1

a2n-1

，當(dāng)n≥2時(shí)，試比較A_n與B_n的大小．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出等差數(shù)列的公差，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)，建立等式求得d，則數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)的和可得；
（2）利用（Ⅰ）的a_n和S_n，代入不等式，利用裂項(xiàng)法和等比數(shù)列的求和公式整理A_n與B_n，然后進(jìn)行比較．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由(

1

a2

)2=

1

a1

•

1

a4

，
得（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），因?yàn)閐≠0，所以d=a₁=4，
所以a_n=4n，S_n=4n+

4n(n-1)

2

=2n（n+1）；
（2）∵

1

Sn

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)
∴A_n=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

2

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

2

(1-

1

n+1

)．
又a2n-1=4•2n-1=2n+1，
∴Bn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n-1

=

1

4

•

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=

1

2

(1-

1

2n

)．
當(dāng)n≥2時(shí)，2n=

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

＞n+1，
即1-

1

n+1

＜1-

1

2n

．
所以A_n＜B_n．

點(diǎn)評：本題是數(shù)列和不等式的綜合題，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，訓(xùn)練了利用放縮法求解不等式，是有一定難度題目．