Question

如圖，拋物線M：y=x²+bx（b≠0）與x軸交于O，A兩點，交直線l：y=x于O，B兩點，經過三點O，A，B作圓C．
（I）求證：當b變化時，圓C的圓心在一條定直線上；
（II）求證：圓C經過除原點外的一個定點；
（III）是否存在這樣的拋物線M，使它的頂點與C的距離不大于圓C的半徑？

Answer 1

分析：（I）在方程y=x²+bx中．令y=0，y=x，易得A，B的坐標表示，設圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey=0，利用條件得出

D=b E=b-2

，寫出圓C的圓心坐標的關系式，從而說明當b變化時，圓C的圓心在定直線y=x+1上．
（II）設圓C過定點（m，n），則m²+n²+bm+（b-2）n=0，它對任意b≠0恒成立，從而求出m，n的值，從而得出當b變化時，（I）中的圓C經過除原點外的一個定點坐標；
（III）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在這樣的拋物線M，使它的頂點與它對應的圓C的圓心之間的距離不大于圓C的半徑，再利用不等關系，求出b，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（I）在方程y=x²+bx中．令y=0，y=x，易得A（-b，0），B（1-b，1-b）
設圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey=0，
則

b2-bD=0 (1-b) 2+(1-b) 2+(1-b)D+(1-b)E=0

⇒

D=b E=b-2

，
故經過三點O，A，B的圓C的方程為x²+y²+bx+（b-2）y=0，
設圓C的圓心坐標為（x₀，y₀），
則x₀=-

b

2

，y₀=-

b-2

2

，∴y₀=x₀+1，
這說明當b變化時，（I）中的圓C的圓心在定直線y=x+1上．
（II）設圓C過定點（m，n），則m²+n²+bm+（b-2）n=0，整理得（m+n）b+m²+n²-2n=0，
它對任意b≠0恒成立，∴

m+n=0 m2+n 2-2n=0

⇒

m=-1 n=1

或

m=0 n=0

故當b變化時，（I）中的圓C經過除原點外的一個定點坐標為（-1，1）．
（III）拋物線M的頂點坐標為（-

b

2

，-

b 2

4

），若存在這樣的拋物線M，使它的頂點與它對應的圓C的圓心之間的距離不大于圓C的半徑，
則|-

b-2

2

+

b 2

4

|≤

b 2 4 + (b-2) 2 4

，
整理得（b²-2b）²≤0，因b≠0，∴b=2，
以上過程均可逆，故存在拋物線M：y=x²+2x，使它的頂點與C的距離不大于圓C的半徑．

點評：本題考查了二次函數解析式的確定，圓的一般方程，拋物線的簡單性質等知識點．綜合性較強，考查學生數形結合的數學思想方法．