Question

設函數y=f(x)在區間D上的導函數為f′(x)，f′(x)在區間D上的導函數為g(x)。若在區間D上，g(x)＜0恒成立，則稱函數f(x)在區間D上為“凸函數”。已知實數m是常數，，
（Ⅰ）若y=f(x)在區間[0，3]上為“凸函數”，求m的取值范圍；
（Ⅱ）若對滿足|m|≤2的任何一個實數m，函數f(x)在區間（a，b）上都為“凸函數”，求b-a的最大值。

Answer 1

解：由函數，得，
∴， 
（Ⅰ）若y=f(x)在區間[0，3]上為“凸函數”，則在區間[0，3]上恒成立，
∵x=0時，恒成立，
0＜x≤3時，恒成立等價于恒成立，
∵0＜x≤3時，時增函數，
∴m＞F（3），即m＞2，
∴若f(x)在區間[0，3]上為“凸函數”，則m＞2。
（Ⅱ）當|m|≤2時，恒成立，|m|≤2時，恒成立，
當x=0時，-3＜0顯然成立，
∵m的最小值是-2， 
∴，解得0＜x＜1，
當x＜0，，
∵m的最大值是2，
∴，解得-1＜x＜0；
綜上可得-1＜x＜1，從而，
∴b-a的最大值等于2。