Question

如圖，已知常數a＞0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O為AB的中點，點E、F、G分別在BC、CD、DA上移動，且

BE

BC

=

CF

CD

=

DG

DA

，P為GE與OF的交點，建立如圖坐標系，求P點的軌跡方程．

Answer 1

分析：根據如圖坐標系，按題意寫出A，B，C，D四點的坐標，進而根據

BE

BC

=

CF

CD

=

DG

DA

解出E，F，G三點的坐標 參數表示，求出OF與GE兩條直線的方程，兩者聯立即可求出點P的坐標滿足的參數方程，消去參數，得到點P的軌跡方程．

解答：解：如圖，按題意有A（-2，0），B（2，0），C（2，4a），D（-2，4a）．
設

BE

BC

=

CF

CD

=

DG

DA

=k(0≤k≤1)．
由此有E（2，4ak），F（2-4k，4a），G（-2，4a-4ak）．
直線OF的方程為：2ax+（2k-1）y=0，①
直線GE的方程為：-a（2k-1）x+y-2a=0②
從①，②消去參數k，
得點P（x，y）坐標滿足方程2a²x²+y²-2ay=0，（矩形內部）．

點評：考查解析法求點的軌跡方程，本題在做題時引入了參數k，故得到的軌跡方程為參數方程，需要消去參數得到軌跡方程，又當字母的取值范圍對曲線的形狀有影響時，要對其范圍進行討論以確定軌跡的具體性狀．