Question

已知函數的圖象過坐標原點O，且在點（﹣1，f（﹣1））處的切線的斜率是﹣5．
（1）求實數b，c的值； 
（2）求f（x）在區間[﹣1，2]上的最大值；
（3）對任意給定的正實數a，曲線y=f（x）上是否存在兩點P、Q，使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上？說明理由．

Answer 1

解：（1）當x＜1時，f（x）=﹣x³+x²+bx+c，則f'（x）=﹣3x²+2x+b． 依題意得：
，
即
解得b=c=0
（2）由（1）知，
①當﹣1≤x＜1時，，
令f'（x）=0得
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

②當1≤x≤2時，f（x）=alnx．
當a≤0時，f（x）≤0，f（x）最大值為0；
當a＞0時，f（x）在[1，2]上單調遞增．
∴f（x）在[1，2]最大值為aln2．
綜上，當aln2≤2時，即時，f（x）在區間[﹣1，2]上的最大值為2；
當aln2＞2時，即時，f（x）在區間[﹣1，2]上的最大值為aln2．
（3）假設曲線y=f（x）上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在y軸兩側．
不妨設P（t，f（t））（t＞0），則Q（﹣t，t³+t²），顯然t≠1
∵△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，
∴
即﹣t²+f（t）（t³+t²）=0（*）
若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q．
若0＜t＜1，則f（t）=﹣t³+t²
代入（*）式得：﹣t²+（﹣t³+t²）（t³+t²）=0
即t⁴﹣t²+1=0，而此方程無解，因此t＞1．
此時f（t）=alnt，代入（*）式得：
﹣t²+（alnt）（t³+t²）=0
即（**）
令h（x）=（x+1）lnx（x≥1），則

∴h（x）在[1，+∞）上單調遞增，
∵t＞1
∴h（t）＞h（1）=0，
∴h（t）的取值范圍是（0，+∞）．
∴對于a＞0，方程（**）總有解，即方程（*）總有解．