Question

（14分）如圖，矩形的兩條對角線相交于點，邊所在直線的方程為，點在邊所在直線上。

⑴求邊所在直線的方程；
⑵求矩形外接圓的方程；
⑶若動圓過點，且與矩形的外接圓外切，求動圓的圓心的軌跡方程。

Answer 1

⑴
⑵
⑶

本試題主要是考查了直線方程的求解，以及圓的方程的求解和動點的軌跡方程的求解的綜合運用。
（1）因為因為邊所在直線的方程為，且與垂直所以直線的斜率為。（1分）又因為點在直線上，所以邊所在直線的方程可以得到
（2）由直線方程與直線方程聯立方程組得到交點的坐標即為圓心的坐標，然后得到圓的半徑，進而得到結論。
（3）根據因為動圓過點，所以是該圓的半徑又因為動圓與圓外切所以,即結合定義法得到軌跡方程的求解。
解：⑴因為邊所在直線的方程為，且與垂直所以直線的斜率為。（1分）又因為點在直線上，所以邊所在直線的方程為，即。………（4分）
⑵由，解得點的坐標為……（5分）
因為矩形兩條對角線的交點為,所以為矩形外接圓的圓心又……………（7分）
從而矩形外接圓的方程為。…（8分）
⑶因為動圓過點，所以是該圓的半徑又因為動圓與圓外切所以,即………………………（10分）
故點的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線的左支……………（11分）
因為實半軸長，半焦距,所以虛半軸長………………………（13分）
從而動圓的圓心的軌跡方程為。………………………（14分）
注：沒注明條件扣1分。