Question

【題目】過橢圓外一點作橢圓的切線，，切點分別為，，滿足.

（1）求的軌跡方程

（2）求的面積(用的橫坐標表示)

（3）當運動時，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.（3）

【解析】

（1）討論切線，的斜率都存在時，設出切線方程，聯立橢圓方程，結合相切的條件：判別式為0，由兩直線垂直的條件：斜率之積為，可得的軌跡方程；再討論切線的斜率不存在，可得所求；

（2）設，，求得，處的切線方程，可得切點弦的方程，聯立橢圓方程，由韋達定理和弦長公式，可得，求得到直線的距離，再由三角形的面積公式，化簡可得所求；

（3）運用換元法和導數，判斷面積函數的單調性，結合的橫坐標的范圍，可得所求范圍.

解：（1）當切線，的斜率都存在時，設切線方程為，

由，

，

，

∵.

∴，

∴.

當切線，的斜率有一條不存在時，，在上.

故的軌跡方程.

（2）設點，在橢圓上，則過點，的切線方程為，以下來證明此結論：

因為點，在橢圓上，得．

把，代入方程，得，

所以點，在直線上，

聯列方程組，消去可得，

解得，即方程組只有唯一解．

所以，直線為橢圓在點處的切線方程；

設，，

可知，過的切線方程為，

過的切線方程為.

又兩切線均過，

∴.

說明，均在直線上.

∵過兩點的直線唯一，

∴切點弦所在的直線方程為：.

由，

可得，，

即有，

可得，

又到直線的距離為，

可得的面積為，

由.可得，

即有；

（3）設，則，

，可得在遞增，

可得.

則運動時，求面積的取值范圍為.