Question

【題目】已知點，點為動點，以為直徑的圓內切于.

（1）證明為定值，并求點的軌跡的方程；

（2）過點的直線與交于兩點，直線過點且與垂直，與交于兩點，為的中點，求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由已知及橢圓的定義可得到點的軌跡方程；（2）設直線的方程，聯立直線方程與橢圓方程，化為關于的一元二次方程，由根與系數關系表達三角形的底和高代入三角形的面積公式利用函數求最值.

（1）設以為直徑的圓的圓心為，半徑為，則，

由

所以，為定值，

由

所以，點的軌跡為以，為焦點的橢圓；

則，，

所以，點的軌跡方程為：；

（2）設

由，消去得，

易得，△．

為的中點，，

設，，，，

又到的距離

所以，

設，則

所以，

記，在，上遞增，（1），

所以，的最大值為，即，的面積的最大值為．