Question

【題目】已知圓，設點為圓與軸負半軸的交點，點為圓上一點，且滿足的中點在軸上.

（1）當變化時，求點的軌跡方程；

（2）設點的軌跡為曲線，、為曲線上兩個不同的點，且在、兩點處的切線的交點在直線上，證明：直線過定點，并求此定點坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，定點坐標為.

【解析】

（1）求得點，設點，求得線段的中點，由結合平面向量數量積的坐標運算化簡可求得點的軌跡方程；

（2）設、，設直線的方程為，利用導數求出曲線在點、的切線方程，并將兩切線方程聯立，求出交點的坐標，可得出，再將直線的方程與曲線的方程聯立，利用韋達定理可求得的值，進而可求得直線所過定點的坐標.

（1）依題意，設，則弦中點，

由得，即；

（2）設、，

依題意可設拋物線在、兩點處的切線交點為，

設直線的方程為，對函數求導得，

所以，拋物線在點處的切線為，即，

拋物線在點處的切線為，即，

聯立，解得，所以，

聯立直線與曲線的方程得，消去得，

由韋達定理得，解得，

所以，直線的方程為，過定點.