Question

（本題滿分14分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA底面ABCD,DAB為直角，AB‖CD,AD=CD=2AB,E、F分別為PC、CD的中點.

（Ⅰ）試證：CD平面BEF;

（Ⅱ）設PA＝k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)見解析；（Ⅱ）k的取值范圍為k＞

【解析】本試題主要考查了立體幾何中線面的垂直的證明以及二面角的求解的綜合運用

（1）根據已知的條件，通過線線垂直來判定函數的線面垂直的證明。即由已知DF∥AB且DAD為直角，故ABFD是矩形，從而CDBF.

又PA底面ABCD,CDAD，故知CDPD.在△PDC中，E、F分別PC、CD的中點，故EF∥PD,從而CDEF,由此得CD面BEF.

（2）建立合理的空間直角坐標系來表示空間向量的坐標，然后求解法向量，運用法向量的夾角來表示二面角的平面角的大小。

(Ⅰ)解法一：

（Ⅰ）證：由已知DF∥AB且DAD為直角，故ABFD是矩形，從而CDBF. ………..4分

又PA底面ABCD,CDAD，故知CDPD.在△PDC中，E、F分別PC、CD的中點，故EF∥PD,從而CDEF,由此得CD面BEF. 　　………..7分

（Ⅱ）連結AC交BF于G.易知G為AC的中點.連接EG,

則在△PAC中易知EC∥PA.又因

PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中，過C作GHBD,垂足為H,連接EH.由三垂線定理知EHBD.從而EHG為二面角E-BD-C的平面角. ………..10分

設AB=a,則在△PAC中，有

BG=PA=ka.

以下計算GH，考察底面的平面圖（如答(19)圖２）.連結GD.

因S_△CBD=BD·GH=GB·OF.故GH=.

在△ABD中，因為AB＝a,AD=2A,得BD=a　　　　　　　　　　

而GB=FB=AD-a.DF-AB,從而得GH== ＝因此tanEHG==………..12分

由k＞0知是銳角，故要使＞，必須＞tan=

解之得，k的取值范圍為k＞………..14分

解法二：

（Ⅰ）如圖，以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為：軸建立空間直角坐標系，設AB=a,則易知點A,B,C,D,F的坐標分別為

A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),F(a,2a,0).

從而=(2a,0,0), =(0,2a,0),

·=0,故

設PA=b,則P(0,0,b),而E為PC中點.故

E.從而=. ·=0,故.

由此得CD面BEF.

（Ⅱ）設E在xOy平面上的投影為G，過G作GHBD垂足為H,由三垂線定理知EHBD.

從而EHG為二面角E-BD-C的平面角.

由PA＝k·AB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).設H(x,y,0)，則=(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0),

由·=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即x-2y=-a      ①

又因=(x,a,y,0),且與的方向相同，故＝，即2x+y=2a      ②

由①②解得x=a,y=a,從而＝，｜｜＝a.

tanEHG===.由k＞0知，EHC是銳角，由EHC＞得tanEHG＞tan即

＞故k的取值范圍為k＞