Question

若拋物線上總存在關于直線對稱的兩點，求的范圍.

Answer 1

解法一:（對稱曲線相交法）

曲線關于直線對稱的曲線方程為.
如果拋物線上總存在關于直線對稱的兩點，則兩曲線
與必有不在直線上的兩個不同的交點(如圖所示)，從而可由:


∵　　
∴　 
代入得　有兩個不同的解，
∴　.
解法二: （對稱點法）

設拋物線上存在異于于直線的交點的點，且關于直線的對稱點也在拋物線上
則
 必有兩組解
(1)-(2)得
  必有兩個不同解
∵，
∴有解
從而有   有兩個不等的實數解
即  有兩個不等的實數解
∴  
∵，
∴
解法三：（點差法）
設拋物線上以為端點的弦關于直線對稱，且以為中點是拋物線（即）內的點.
從而有　.
由
(1)-(2)得 　
∴　
由 
從而有　.