Question

設{a_n}是等差數列，從{a₁，a₂…，a_n}中任取3個不同的數，使這3個數仍成等差數列，則這樣不同的等差數列的個數最多有

n(n-2)

2

（n為偶數）或（n-1）²（n為奇數）

個．

Answer 1

分析：分類討論，分n為奇數和偶數兩種情況討論，即可得到結論．．

解答：解：當n為偶數時，從a₁，a₃，…，a_n-1中任選兩個作為等差數列的第一、三，等差中項唯一確定，只有一種選法，從a₂，a₄，…，a_n中任選兩個作為等差數列的第一、三，等差中項唯一確定，只有一種選法．又數列有遞增和遞減之分，∴這樣的等差數列共有2

C

2 n 2

A

2 2

=

n(n-2)

2

個；
當n為奇數時，從a₁，a₃，…，a_n中任選兩個作為等差數列的第一、三，等差中項唯一確定，只有一種選法，從a₂，a₄，…，a_n-1中任選兩個作為等差數列的第一、三，等差中項唯一確定，只有一種選法．又數列有遞增和遞減之分，∴這樣的等差數列共有(

C

2 n+1 2

+

C

2 n-1 2

)

A

2 2

=（n-1）²個．
故答案為：

n(n-2)

2

（n為偶數）或（n-1）²（n為奇數）．

點評：本題考查等差數列的性質，考查利用排列組合解決實際問題，考查分類計數原理的應用，屬于中檔題．