Question

（本小題滿分14分）

如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面ABC，，，且為AC中點(diǎn)。

證明：平面ABC；

求直線與平面所成角的正弦值；

在上是否存在一點(diǎn)E，使得平面，若不存在，說明理由；若存在，確定點(diǎn)E的位置。

Answer 1

（Ⅰ）見解析（Ⅱ），（Ⅲ）E為的中點(diǎn)

解析:

（Ⅰ）證明：因?yàn)?img border=0 width=62 height=22 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/125/120525.gif" >，且O為AC的中點(diǎn)，

         所以.                                                                              ………………1分

         又由題意可知，平面平面，交線為，且平面，

         所以平面.                                                                          ………………4分

（Ⅱ）如圖，以O為原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

由題意可知，又

所以得:

則有：                                             ………………6分

     

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有

         ，令，得

      所以.                                                ………………7分

      .                                          ………………9分

      因?yàn)橹本�與平面所成角和向量與所成銳角互余，所以.                                                                                                   ………………10分

（Ⅲ）設(shè)                                          ………………11分

即，得

所以得          ………………12分

      令平面，得 ，                                    ………………13分

      即得

即存在這樣的點(diǎn)E，E為的中點(diǎn).                            ………………14分