Question

【題目】已知f（x）=lnx+a（1-x）,問:（1）討論f（x） 的單調(diào)性；（2）當(dāng) f（x）有最大值,且最大值大于2a-2 時,求a的取值范圍.
（1）（I）討論f（x） 的單調(diào)性；
（2）（II）當(dāng) f（x）有最大值,且最大值大于2a-2 時,求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）

f（x）在（0，）單調(diào)遞增，在（，+）單調(diào)遞減

（2）

（0,1）

【解析】
（I)a0，f（x）在（0，+）是單調(diào)遞增
a0.f（x）在（0，）單調(diào)遞增，在（ ， +）單調(diào)遞減
f（x）的定義域為（0，+），f’（x）=-a,若a0，則f’（x）0，f（x）在（0，+）是單調(diào)遞增
若a0，則當(dāng)x（0，）時，f’（x）0，
當(dāng)x（ ， +）時，f’（x）0
所以f（x）在（0，）單調(diào)遞增，在（ ， +）單調(diào)遞減。
(II).由（I）知，當(dāng)a0時，f（x）在（0，+）無大值
當(dāng)a0.f（x）在x=取得最大值，最大值為f（）=ln（）+a（1-）=-lna+a-1
因此f（）2a-2lna+a-10
令g（a）=lna+a-1，則g（a）在（0，+）是增函數(shù)，g（1）=0，于是，當(dāng)0a1時g（a）0，當(dāng)a1時，g（a）0，因此a的取值范圍是（0,1）。
【考點精析】通過靈活運用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較即可以解答此題．