【題目】在平面直角坐標系
中，橢圓
的離心率為
，過橢圓右焦點
作兩條互相垂直的弦
與
.當直線的斜率為0時，
.
（1）求橢圓的方程；
（2）試探究
是否為定值？若是，證明你的結論；若不是，請說明理由.
【答案】（1）
（2）
是定值；證明見解析
【解析】
（1）根據
，當直線
的斜率為0時，
.即
求解.
（2）分兩種情況討論，①當兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時，另一條弦所在直線的斜率不存在，易得
.
②當兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時，設直線的方程為
，直線
的方程為
.將直線方程代入橢圓方程中并整理
，再利用弦長公式分別求解
即可.
（1）由題意知，當直線的斜率為0時，.
.
又
，
解得
，
，
所以橢圓方程為.
（2）①當兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時，另一條弦所在直線的斜率不存在，
由題意知.
②當兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時，設直線的方程為，
，
，
則直線的方程為.
將直線方程代入橢圓方程中并整理得，
則
，
，
所以
.
同理，
.
所以
，
故是定值.
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓：
的四個頂點圍成的四邊形的面積為
，原點到直線
的距離為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）已知定點
，是否存在過
的直線
，使與橢圓交于
，
兩點，且以
為直徑的圓過橢圓的左頂點？若存在，求出的方程：若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司為了提高利潤，從2012年至2018年每年對生產環節的改進進行投資，投資金額與年利潤增長的數據如下表：
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
投資金額 | 4.5 | 5.0 | 5.5 | 6.0 | 6.5 | 7.0 | 7.5 |
年利潤增長 | 6.0 | 7.0 | 7.4 | 8.1 | 8.9 | 9.6 | 11.1 |
（1）請用最小二乘法求出
關于
的回歸直線方程（結果保留兩位小數）；
（2）現從2012—2018年這7年中抽出三年進行調查，記
年利潤增長－投資金額，設這三年中
（萬元）的年份數為
，求隨機變量的分布列與期望.
參考公式：
，
.
參考數據：
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，長途車站P與地鐵站O的距離為
千米，從地鐵站O出發有兩條道路l1，l2，經測量，l1，l2的夾角為45°，OP與l1的夾角
滿足tan＝
（其中0＜θ＜
)，現要經過P修條直路分別與道路l1，l2交匯于A，B兩點，并在A，B處設立公共自行車停放點．
（1）已知修建道路PA，PB的單位造價分別為2m元/千米和m元/千米，若兩段道路的總造價相等，求此時點A，B之間的距離；
（2）考慮環境因素，需要對OA，OB段道路進行翻修，OA，OB段的翻修單價分別為n元/千米和
n元/千米，要使兩段道路的翻修總價最少，試確定A，B點的位置．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓C的方程為：（x－3）2＋（y－2）2＝r2（r>0），若直線3x＋y＝3上存在一點P，在圓C上總存在不同的兩點M，N，使得點M是線段PN的中點，則圓C的半徑r的取值范圍是________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的中心為坐標原點，焦點在
軸上，離心率
，以橢圓的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為
.
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若經過點
的直線
交橢圓于
兩點，是否存在直線
，使得到直線
的距離
滿足
恒成立，若存在，請求出
的值；若不存在，請說明理由.
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