Question

【題目】已知數集具有性質:對任意的 ,,使得成立.

（Ⅰ）分別判斷數集與是否具有性質,并說明理由;

（Ⅱ）求證;

（Ⅲ）若,求數集中所有元素的和的最小值.

Answer 1

【答案】（1）具有（2）見解析（3）最小值為

【解析】試題分析：

（1）利用性質的含義及特例可判斷數集不具有性質，數集具有性質．（2）數集具有性質可得， ， ， ，

將上述不等式相加得，化簡得，即為所求．（3）由及性質可得，從而易知數集的元素都是整數，構造或者，此時元素和為，然后再證明是最小的和．

試題解析：

（）∵，

∴數集不具有性質．

∵， ， ，

∴數集具有性質．

（）∵集合具有性質即對任意的， ， 使得成立，

又， ，

∴， ，

∴， ，

∴，

即， ， ， ，

將上述不等式相加得，

化簡得．

（）最小值為．

首先注意到，根據性質，得到，

所以易知數集的元素都是整數，

構造或者，這兩個集合具有性質，此時元素和為．

下面，證明是最小的和．

假設數集，滿足最小（存在性顯然，因為滿足的數集只有有限個）．

第一步：首先說明集合中至少有個元素：

由（）可知， ， ， ，

又，

∴， ， ， ， ， ，

∴．

第二步：證明， ， ，

若，設，

∵，為了使最小，

在集合中一定不含有元素，使得，

從而；

若，根據性質，對，有， ，使得，

顯然，

∴，

此時集合中至少有個不同于， ， 的元素，

從而，矛盾，

∴，進而， ，且．

同理可證：若，則．

假設，

∵，根據性質，有， ，使得，

顯然，

∴，

此時集合中至少還有個不同于， ， ， 的元素，

從而，矛盾，

∴，且，

同理可證：若，則．

假設，

∵，根據性質，有， ，使得，

顯然，

∴，

此時集合中至少還有個不同于， ， ， ， 的元素，

從而，矛盾，

∴，且．

至此，我們得到， ， ， ， ，

根據性質，有， ，使得，我們需要考慮如下幾種情形：

①， ，此時集合中至少還需要一個大于等于的元素，才能得到元素，則；

②， ，此時集合中至少還需要一個大于的元素，才能得到元素，則；

③， ，此時集合， ；

④， ，此時集合， ．

綜上所述，若，則數集中所有元素的和的最小值是．