Question

（12分）已知{a_n}是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a₃a₆＝55，a₂＋a₇＝16。
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}滿足等式：a_n＝＋＋＋……＋，（nN₊），
求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n。

Answer 1

（1）a_n＝a₃＋(n－3)d＝2n－1；（2）當(dāng)n＝1時(shí)，S₁＝b₁＝2
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n＝b₁＋b₂＋b₃＋……＋b_n＝2＋＝2^n＋2－6

求一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和應(yīng)該先求出數(shù)列的通項(xiàng)，利用通項(xiàng)的特點(diǎn)，然后選擇合適的求和的方法．
（1）將已知條件a₃a₆=55，a₂+a₇=16，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式用首項(xiàng)與公差表示，列出方程組，求出首項(xiàng)與公差，進(jìn)一步求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
（2）將已知等式仿寫出一個(gè)新等式，兩個(gè)式子相減求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和Sn．
解：（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)得：a₂＋a₇＝a₃＋a₆
∴，解得：或
∵{a_n}的公差大于0  ∴{a_n}單增數(shù)列
∴a₃＝5，a₆＝11     ∴公差d＝＝＝2
∴a_n＝a₃＋(n－3)d＝2n－1
（2）當(dāng)n＝1時(shí)，a₁＝   ∴b₁＝2
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n＝＋＋＋…＋
a_n－1＝＋＋＋…＋
兩式相減得：a_n－a _n－1＝
∴b_n＝2^n＋1，n≥2

∴當(dāng)n＝1時(shí)，S₁＝b₁＝2
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n＝b₁＋b₂＋b₃＋……＋b_n
＝2＋＝2^n＋2－6