Question

    已知函數g(x)=(2－x)³－a(2－x)，函數f(x)的圖象與g(x)的圖象關于直線x－1＝0對稱.

    (1)求f(x)的表達式；

    (2)若f(x)在區間［1，＋∞］上是單調增函數，求實數a的取值范圍；

    (3)記h(x)＝f(x)+g(x)，求證：當x₁，x₂∈(0，2)時，|h(x₁)－h(x₂)|＜12|x₁－x₂|.

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：解：(1)設P(x，y)為函數f(x)圖象上任一點，其關于x＝1的對稱點P′(x′，y′)應在g(x)圖象上.     ∴∴代入g(x)表達式得f(x)= x3－ax.　　       (2)∵f′(x)=3x2－a，且f(x)在［1，+∞)上是增函數，     ∴3x2－a≥0在［1，+∞）上恒成立，∴a≤3x2∈［3，+∞）恒成立.     ∴a≤3.     (3)∵h(x)=f(x)+g(x)=(2－x)3－a(2－x)+x3－ax=6x2－12x+8－2a，     |h(x1)－h(x2)|=|(6x12－12x1+8－2a)－(6x22－12x2+8－2a)|     =|6(x12－x22)－12(x1－x2)|     =6|x1－x2|·|x1+x2－2|.     ∵x1，x2∈(0，2).     ∴0＜x1+x2＜4，∴－2＜x1+x2－2＜2，     即|x1+x2－2|＜2，∴6|x1－x2|·|x1+x2－2|＜12|x1－x2|，     即|h(x1)－h(x2)|＜12|x1－x2|.