Question

如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點．
（1）求證：MN⊥CD；
（2）若∠PDA=45°，求證：MN⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）利用兩平行線中的一條垂直于平面另一條也垂直平面判斷出NO⊥平面ABCD，利用線面垂直的判定定理與性質定理得到MN⊥CD．
（2）利用等腰三角形的中線垂直于底邊得到MN⊥PC，由（1）知，MN⊥CD，利用線面垂直的判定定理得到
MN⊥平面PCD．

解答：證明：（1）連接AC，BD，設AC∩BD=0，連接NO，MO，則NO∥PA．

∵PA⊥平面ABCD，
∴NO⊥平面ABCD，
∴NO⊥AB，
∵MO⊥AB，
∴AB⊥面MNO
∴MN⊥AB，而CD∥AB，
∴MN⊥CD…（6分）
（2）∵∠PDA=45°
∴PA=AD=BC，由△PAM≌△CMB，
得PM=CM，
又∵N為PC的中點，
∴MN⊥PC
又MN⊥CD，PC∩CD=C
∴MN⊥平面PCD　　　　…（12分）

點評：本題考查線面垂直的判定定理；考查線面垂直的性質定理，利用三角形的中位線證明線線平行，屬于中檔題．