Question

已知函數f(x)=

a

2

-

2x

2x+1

（a為常數）
（1）證明：函數f（x）在（-∞，+∞）上是減函數；
（2）若f（x）為奇函數，求a的值．

Answer 1

分析：（1）要用函數的單調性的定義來證明函數是一個減函數，首先取兩個具有大小關系的變量，利用這兩個自變量的函數值相減，把最后結果整理成因式乘積的形式，判斷差和0的關系．
（2）根據函數是一個奇函數，并且函數的定義域包含0，所以只要寫出f（0）=0，得到關于a的等式，解方程即可．

解答：解：（1）證明：在（-∞，+∞）上任取兩個值x₁，x₂且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=（

a

2

-

2x1

2x1+1

）-（

a

2

-

2x2

2x2+1

）
=

2x2

2x2+1

-

2x1

2x1+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

∵2＞1且x₁＜x₂
∴2x2-2x1＞0又(2x1+1)(2x2+1)＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
∴函數f（x）在（-∞，+∞）上是減函數．
（2）∵f（x）為奇函數且在x=0處有意義，
∴f（0）=0
∴

a

2

-

20

20+1

=0
∴a=1

點評：本題考查函數的奇偶性，考查函數的單調性的判斷與證明，是一個考查奇偶性和單調性的綜合問題，注意這種問題一般是用定義來證明的．