如圖，正三棱柱ABC-A
1B
1C
1所有棱長都是2，D是棱AC的中點，E是棱CC
1的中點，AE交A
1D于點H．
（1）求證：AE⊥平面A
1BD；
（2）求二面角D-BA
1-A的大�。ㄓ梅慈呛瘮�(shù)表示）
（3）求點B
1到平面A
1BD的距離．
（1）證明：以DA所在直線為x軸，過D作AC的垂線為y軸，DB所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（1，0，0），C（-1，0，0）
E（-1，-1，0）A
1（1，-2，0）C
1（-1，-2，0）B （0，0，
）
=（-2，-1，0）
=（-1，2，0）
=（0.0，-
）
∵
•=2-2+0=0
∵
•=0，∴∴
⊥，⊥即AE⊥A
1D，AE⊥BD，又A
1D∩BD=D
∴AE⊥面A
1BD
（2）設(shè)面DA
1B的法向量為
=（x
1，y
1，z
1）由
•=0，•=0得
取
=（2，1，0）
設(shè)面BA
1A的法向量為
(x2，y2，z2)，
同理由
•=0，•=0解得
=（3.0，
），
cos＜
，＞=
=．
由圖可知二面角D-BA
1-A為銳二面角，所以它的大小為arccos
．
（3）
=（0，2，0）平面A
1BD的法向量取
=（2，1，0）
則點B
1到平面A
1BD的距離d=
||==．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：不詳
題型：填空題
下列命題中：
（1）、平行于同一直線的兩個平面平行；（2）、平行于同一平面的兩個平面平行；
（3）、垂直于同一直線的兩直線平行；（4）、垂直于同一平面的兩直線平行.
其中正確的個數(shù)有_____________。
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：不詳
題型：解答題
三棱錐P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=
，PB=
，求PC與AB所成角的余弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：不詳
題型：解答題
如圖，直三棱柱ABCA
1B
1C
1的底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA
1=2，M、N分別是A
1B
1、A
1A的中點．
（1）求
的模；
（2）求異面直線BA
1與CB
1所成角的余弦值；
（3）求證：A
1B⊥C
1M．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：不詳
題型：解答題
已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=
AB=1，N為AB上一點，AB=4AN，M、S分別為PB、BC的中點．
（Ⅰ）求證：CM⊥SN；
（Ⅱ）求二面角P-CB-A的余弦值；
（Ⅲ）求直線SN與平面CMN所成角的大�。�
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：不詳
題型：解答題
已知點H在正方體ABCD-A′B′C′D′的對角線B′D′上，∠HDA=60°．
（Ⅰ）求DH與CC′所成角的大小；
（Ⅱ）求DH與平面AA′D′D所成角的大�。�
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：不詳
題型：解答題
如圖在空間直角坐標(biāo)系中BC=2，原點O是BC的中點，點A的坐標(biāo)是（
，，0），點D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°．
（I）求向量
的坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)向量
和
的夾角為θ，求cosθ的值．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：不詳
題型：解答題
如圖，在三棱柱A
1B
1C
1-ABC中，A
1A⊥平面ABC，A
1A=AB=AC，AB⊥AC，點D是BC上一點，且AD⊥C
1D．
（1）求證：平面ADC
1⊥平面BCC
1B
1；
（2）求證：A
1B
∥平面ADC
1；
（3）求二面角C-AC
1-D大小的余弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：不詳
題型：解答題
已知正方形ABCD的邊長為1，AC∩BD=O．將正方形ABCD沿對角線BD折起，使AC=1，得到三棱錐A-BCD，如圖所示．
（Ⅰ）若點M是棱AB的中點，求證：OM
∥平面ACD；
（Ⅱ）求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅲ）求二面角A-BC-D的余弦值．
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