Question

在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2

3

，M、N分別為AB、SB的中點．
（1）求二面角N-CM-B的余弦值；
（2）求點B到平面CMN的距離．

Answer 1

分析：（1）由△ABC是正三角形，取AC中點O，結(jié)合平面SAC⊥平面ABC，可得OA，OB，OS兩兩互相垂直，以O(shè)為坐標原點，分別以O(shè)A，OB，OS所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，求出二面角的兩個半平面所在平面的一個法向量，利用平面法向量所成角的余弦值求得二面角N-CM-B的余弦值；
（2）由（1）中求出的平面CMN的一個法向量，求出向量

MB

的坐標，直接利用向量求距離的公式求點B到平面CMN的距離．

解答：解：（1）取AC中點O，連結(jié)OS、OB．∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SO，AC⊥BO．∵平面SAC⊥平面ABC，
平面SAC∩平面ABC=AC，∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO．
如圖所示建立空間直角坐標系O-xyz，
則A（2，0，0），B(0，2

3

，0)，C（-2，0，0），S(0，0，2

2

)，
∴M(1，

3

，0)，N(0，

3

，

2

)，
∴

CM

=(3，

3

，0)，

MN

=(-1，0，

2

)．
設(shè)

n

=(x，y，z)為平面CMN的一個法向量，
則

CM • n =3x+ 3 y=0 MN • n =-x+ 2 z=0

，
取z=1，x=

2

，y=-

6

，∴

n

=(

2

，-

6

，1)．
又

OS

=(0，0，2

2

)為平面ABC的一個法向量，
∴cos＜

n

，

OS

＞=

n • OS

| n |•| OS |

=

1

3

，即二面角N-CM-B的余弦值為

1

3

．
（2）由（1）得

MB

=(-1，

3

，0)，又

n

=(

2

，-

6

，1)為平面CMN的一個法向量，|

n

|=3，
∴點B到平面CMN的距離d=

| n • MB |

| n |

=

|- 2 -3 2 |

3

=

4 2

3

．

點評：本題考查了空間距離和空間角，解答的關(guān)鍵是建立正確的空間右手系，對于利用平面法向量求空間角和距離的公式要做到理解性的記憶，此題是中檔題．