Question

若橢圓和雙曲線具有相同的焦點F₁，F₂，離心率分別為e₁，e₂，P是兩曲線的一個公共點，且滿足PF₁⊥PF₂，則+的值為（ ）
A．4
B．2
C．1
D．

Answer 1

【答案】分析：利用雙曲線、橢圓的定義，結合PF₁⊥PF₂，利用離心率的定義，即可求得結論．
解答：解：由題意設焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實軸長為2m，不妨令P在雙曲線的右支上
由雙曲線的定義|PF₁|-|PF₂|=2m①，由橢圓的定義|PF₁|+|PF₂|=2a②
又PF₁⊥PF₂，∴∠F₁PF₂=90°，∴|PF₁|²+|PF₂|²=4c²   ③
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=2a²+2m²④
由③④得a²+m²=2c²，即，
∴+=2
故選B．
點評：本題考查圓錐曲線的共同特征，解題的關鍵是得到兩個曲線的參數之間的關系，屬于中檔題．