Question

在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為，（其中為參數，），在極坐標系（以坐標原點為極點，以軸非負半軸為極軸）中，曲線的極坐標方程為．
（1）把曲線和的方程化為直角坐標方程；
（2）若曲線上恰有三個點到曲線的距離為，求曲線的直角坐標方程．

Answer 1

（1）曲線的直角坐標方程為：；曲線的直角坐標方程為；
（2）曲線的直角坐標方程為.

試題分析：（1）對于曲線，把已知參數方程第一式和第二式移向，使等號右邊分別僅含、，平方作和后可得曲線的直角坐標方程；對于曲線，把代入極坐標方程的展開式中即可得到曲線的直角坐標方程.
（2）由于圓的半徑為，所以所求曲線與直線平行，且與直線相距時符合題意.利用兩平行直線的距離等于，即可求出，進而得到曲線的直角坐標方程.
試題解析：（1）曲線的參數方程為，即，將兩式子平方化簡得，
曲線的直角坐標方程為：；
曲線的極坐標方程為，即，
所以曲線的直角坐標方程為.
（2）由于圓的半徑為，故所求曲線與直線平行，且與直線相距時符合題意.由，解得.故曲線的直角坐標方程為.